Возможно, ситуация прояснилась бы, если бы также написали здесь условие примера 10.

А без него можно сказать следующее. Нужно выяснить, если оба игрока играют "правильно", то кто из них всегда выигрывает: тот, кто делает первый ход (начинает игру) или второй. Если окажется, что потенциальный победитель тот, кто делает первый ход, то докажите, что для дальнейшего выигрыша даже первый ход нужно делать не какой-угодно, а вполне определенный, т.к. при других вариантах первого хода возможен проигрыш.

ПРИМЕР игры, где надо играть "правильно". Есть 10 монет. Игроки делают ходы по очереди, беря от 1 до 4 монет. Проигрывает тот, кто берет последнюю монету. Кто выигрывает, если играет правильно и как надо играть?

ОТВЕТ. Выигрывает первый. Первым ходом нужно взять 4 монеты (останется 6), а после второго - оставить одну монету. Например, если из 6 оставшихся монет, противник взял 2, т.е. оставил первому игроку 4, то первый игрок берет 3, оставляя 1.

Другие варианты первого хода проигрышные, т.к. тогда второму игроку достаточно оставить после себя 6 монет, т.е. создать проигрышную позицию.

ОБЪЯСНЕНИЕ (АНАЛИЗ). Закономерность такая: если ничьих не бывает, а ход обязателен, то в проигрышную позицию приходим только из выигрышной (после хода выигрывающего), а из проигрышной позиции попадаем только в выигрышную (т.к. нет ходов, чтобы сделать выигрывающего проигравшим).

Тогда, очевидно, 1 монета - проигрышная позиция (по условию), а 5, 4, 3, 2 - выигрышные, т.к. из них мы можем одним ходом прийти в позицию с 1 монетой (в проигрышную).

6 - проигрышная позиция, т.к. из нее мы можем прийти только в позиции 5, 4, 3, 2, все их которых выигрышные.

Значит, позиции 10, 9, 8, 7 монет - тоже выигрышные, т.к. из них мы можем прийти в позицию 6 (проигрышную).

Вот и получается: чтобы выигрывать, нужно, получая выигрышную позицию, оставлять после себя проигрышную позицию.