Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Re: Господа, подскажите метод решения
Сообщение прислал(а): Давыдова Елизавета (62-140-236-11.fiord.ru)
Дата написания: 20 сентября 2016г. 14:53:50
Подсчитаем, сколько раз входит каждое число от 2 до 100 в произведение.
2 входит во все факториалы, начиная со второго, т. е. 99 раз
3 входит во все факториалы, начиная с третьего, т. е. 98 раз
n входит во все факториалы, начиная с n, т. е. 101 – n раз
1! *2! *3! *... *100! = 2^99 * 3^98 * 4^97 * ...* 97^4 *98^3 *99^2 * 100.
Все нечётные числа входят в произведение чётное число раз т.е. квадрат какого-то числа,
чётные — нечётное число раз т.е. не квадрат.
Выделим из этого произведения произведение всех чётных чисел, взятых по одному разу:
1! *2! *3! *... *100! = 2^99 * 3^98 * 4^97 * ...* 97^4 *98^3 *99^2 * 100=
= (2^98 *3^98 * 4^96 * ...* 97^4 * 98^2 * 99^2) * (2 * 4 * 6 * ...*98 * 100).
В первой скобке степени чётные, произведение этих чисел — квадрат целого числа.
Во второй скобке вынесем 2 из каждого множителя
2 * 4 * 6 * ...*98 * 100= (2 * 1) *(2 * 2) * (2 * 3) * ...* (2 * 49) * (2 * 50) =
= 2^50* 1 * 2 * 3 * ...* 49 * 50 = 2^50* 50!.
Так как 2^50=(2^25)^2 — квадрат целого числа, то зачеркнуть 50!, получим произведение, которое будет квадратом целого числа.
Сообщения в данном потоке
 Господа, подскажите метод решения (729) - Георгий (pppoe-109-205-146-114.dynamic.tvingo.ru) [14.09.16 21:47]
 Re: Господа, подскажите метод решения (565) - Давыдова Елизавета (62-140-236-11.fiord.ru) [20.09.16 14:53]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров