Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Зфдачка на построение
Сообщение прислал(а): Юрий Милов (d141-46-21.home.cgocable.net)
Дата написания: 10 января 2003г. 02:21:27
Вы помните ЭТУ задачу?

Даны угол АОВ и внутри него точка М. Провести через точку М прямую так, чтбы сумма длин отрезков, отсекаемых прямой на сторонах угла, была наименьшей.

Решение оказалось совсем близко.
Мое начало такое же как и у Сергея http://www.school.mipt.ru/Forum.asp?MsgID=695

"...пусть КN - искомая прямая, точки К и N лежат на
сторонах угла ОА и ОВ соответственно. Проведем РМ параллельно
ОВ(то же, что ОN) и МL параллельно OA. тогда очевидно, что треугольники KMP и MNL подобны. Из подобия следует, что

KP:PM = ML:LN

Тогда, искомое расстояние, которое и нужно минимизировать, будет равно

OK + ON = (OP + PK) + (OL + LN) =

= (OP + OL) + (PK + LN)

..."
*******************
Дальше немного по-другому.
Пусть OP=LM=a, OL=PM=b, KP:PM=ML:LN=x

Тогда KP=x*b, LN=a/x
Искомая сумма, зависяшая от x: P(x)=a + b + x*b + a/x

Чтобы найти минимум, возьмем производную и приравняем ee к нулю:
b - a/(x*x)=0

x=sqrt(a/b) - (sqrt(a/b) - обозначает квадратный корень из a/b)

Тогда KP=LN=sqrt(a*b), то есть к точкам P и L надо добавить РАВНЫЕ !!! отрезки, такие, чтобы секущая прошла через точку M

Дальше дело техники, я надеюсь все знают как построить среднее геометрическое двух отрезков: касательная к окржности будет средним геометрическим от секущей, проведенной из этой же точки и "внешней частью" этой секущей.

*****************************************

Если кто найдет более элегантое решение, я был бы благодарен, если дадите мне знать. Еще раз спасибо всем, кто принял участие в процессе решения. Особенно спасибо Сергею Беляеву, его подход реально помог найти решение.

Юрий Милов
Сообщения в данном потоке
 Зфдачка на построение (4190) - Юрий Милов (d141-46-21.home.cgocable.net) [10.01.03 02:21]
 В греческом стиле (3863) - Юрий Милов (d141-46-21.home.cgocable.net) [12.01.03 16:23]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров