Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Задача на построение - Юре Милову!!!
Сообщение прислал(а): Сергей А. Беляев (zftsh.mipt.ru)
Дата написания: 20 декабря 2002г. 19:35:26
Привет, Юра и все, кто пытался решить эту кошмарную задачу!!!

Все, как выяснилось просто!!! Значит так.

Задача.
Даны угол АОВ и внутри него точка М. Провести через точку М прямую так, чтбы сумма длин отрезков, отсекаемых прямой на сторонах угла, была наименьшей.
(если что, то можно посмотреть на нее по адресу
http://www.school.mipt.ru/Forum.asp?MsgID=625 )
Решение.
Попытаюсь написать все это в буквах.
Итак, пусть КN - искомая прямая, точки К и N лежат на
сторонах угла ОА и ОВ соответственно. Проведем РМ параллельно
ОВ(то же, что ОN) и МL параллельно OA. тогда очевидно, что треугольники KMP и MNL подобны. Из подобия следует, что

KP:PM = ML:LN

Тогда, искомое расстояние, которое и нужно минимизировать, будет равно

OK + ON = (OP + PK) + (OL + LN) =

= (OP + OL) + (PK + LN)

Но По неравенству Коши PK + LN >= 2*sqrt(PK*LN)
(sqrt(x) - обозначает квадратный корень из x)

Однако в силу соотношения подобия треугольников

PK*LN = PM*ML
Значит PK + LN >= 2*sqrt(PM*ML)
Причем равенство достигается при
PK = ML
LN = MP
Из последних равенств понятно как построить
указаную прямую!!! Надо отрезки OP и OL
продлить на свою длину и получить точки
K и N.

Вот так. Если что-то тут непонятно, то я думаю, что заинтересованные могут послать письмо по моему электронному адресу или спросить тут или (что наиболее полезно) додумать самостоятельно, так как ясно, что все слова уже сказаны.
С уважением
Сергей А. Беляев















Сообщения в данном потоке
 Задача на построение - Юре Милову!!! (6361) - Сергей А. Беляев (zftsh.mipt.ru) [20.12.02 19:35]
 Re: Задача на построение - Юре Милову!!! (4300) - Юрий Милов (d221-216-98.systems.cogeco.net) [22.12.02 01:13]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров