Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Доказательство
Сообщение прислал(а): Abr (cce.irtel.ru)
Дата написания: 30 июля 2003г. 13:34:01
Пусть P(x)=An*x^n+An-1*x^(n-1)+...+A0 – многочлен и p/q – его рациональный корень, НОД(p,q)=1.
Рассмотрим Q=q^n*P(p/q)=An*p^n+An-1*q*p^(n-1)+...+A1*q^(n-1)*p+A0*q^n.
1) Т.к. Q=0 кратно p и An*p^n+An-1*q*p^(n-1)+...+A1*q^(n-1)*p кратно p, то A0*q^n кратно p. Но НОД(p,q)=1, значит, A0 кратно p.

2) Т.к. Q=0 кратно q и An-1*q*p^(n-1)+...+A1*q^(n-1)*p+ A0*q^n.
кратно q, то An*p^n кратно q. Но НОД(p,q)=1, значит, An кратно q.

Что и требовалось доказать.

В частности, у приведённого уравнения с целыми коэффициентами любой рациональный корнеь является целым.
Сообщения в данном потоке
 Re: Re: Re: Решение многочленов высших порядков (3893) - Vovchik (62.105.144.194) [29.07.03 16:44]
 Доказательство (3638) - Abr (cce.irtel.ru) [30.07.03 13:34]
 Спасибо! (3700) - Serge (d4.tl.ru) [30.07.03 18:36]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров