Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Новые задачи.
Сообщение прислал(а): Сергей А. Беляев (shine.4ka.mipt.ru)
Дата написания: 16 июня 2003г. 00:17:36
Эта неделя выдалась жаркой (хотя всю неделю у нас тут дождило). Жаркой в смысле решенных задач. Итоги я подведу завтра и обявлю имена тех, кто наиболее близко подошел к победе. Публикую новую серию задач на наступающую неделю. Присылайте решения на serega@4ka.mipt.ru либо в виде простого текста, либо в Word - документе.
А вот и сами задачи.

1. (задача о бабочке) Через середину С произвольной хорды АВ окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от АВ). Отрезок KN пересекает АВ в точке Р. Отрезок LM пересекает АВ в точке Q. Докажите, что PC = QC.

2. Диагонали двух равных кубов с ребром, равным а, лежат на одной и той же прямой. Вершина второго куба совпадает с центром первого и второй куб повернут вокруг диагонали на 60 градусов по отношению к первому. Найти объем общей части этих кубов.

3. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству
(2+а)х^3-(1+2a)x^2-6x+(a^2+4a-5)>0
хотя бы при одном значении параметра а, принадлежащем отрезку [-2,1]

4. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты (а,b) которых таковы, что система уравнений
ax+(b-4)y=2,
(a-4)x+by=3,
bx-(a+6)y=3
имеет единственное решение.
Изобразить фигуру A и составить уравнения всех прямых, каждая из оторых проходит через точку (0,7) и имеет с фигурой A единственную общую точку.

5. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые десять членов - натуральные числа, а все остальные не являются целыми числами.

Комментарии:
1. Красивая и трудная геометрическая задача. Есть Достаточно простое геометрическое решение и изящное, но несколько громоздкое алгебраическое решение. Этой задаче уже несколько тысяч лет. Она была известна ещё во времена Евклида и уже тогда завораживала своей красотой. Название свое получила из-за того, что чертеж к этой задаче напоминает летящую бабочку.
2. Задача на развитие пространственного воображения. Не обижайтесь, если я вам просто буду говорить, что ваше решение неверно - просто достаточно трудно нам обменяться пространственными чертежами. Но все попытки будут подробно изучены.
3. Советую посмотреть на эту задачу под немного другим углом зрения. Если решать в лоб, то ничего не получится, тут ещё нужно понять что же от нас хотят, а вот если взглянуть неожиданно, то условие задачи становится необыкновенно простым.
4. Задача с изюминкой. Поймете в чем она либо всё сделав честно-пречестно, либо напоровшись на эту неожиданность. Тут подсказывать нечего - что делать понятно, но... но изюминка есть!!!(множество, конечно же в своих решениях можете не рисовать, а просто опишите что это такое - это всем знакомый геометрический образ)
5. Напоминаю, что на вопрос "существует ли?" нужно отвечать так. ДА, существует и вот вам пример; или же - НЕТ, не существует и вот вам доказательство того, что эта штука не существует. Решения в другой форме - не принимаются как нематематические.

Всем-всем желаю удачи!!!
Сергей А. Беляев

Сообщения в данном потоке
 Новые задачи. (3011) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [16.06.03 00:17]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров