Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
По многочисленным просьбам...ЗАДАЧИ!!!
Сообщение прислал(а): Сергей А. Беляев (shine.4ka.mipt.ru)
Дата написания: 5 июня 2003г. 21:19:36
Как меня тут попросили на "Основном" форуме, присылаю серию задач для размышления. Вот тут
http://www.school.mipt.ru/Forum.asp?MsgID=1635
рассказано как все это мне присылать. Итак... задачи:

1. На ребрах А1В1 и A1D1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 взяты точки К и М так, что А1К = А1М = x (икс). Найдите х (икс), если известно, что при повороте кубавокруг диагонали АС1 на угол (alfa)(это угол альфа) точка К переходит в М.

2. Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть - интервал (1/3 ; 2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет (то есть интервалы (1/9 ; 2/9) и (7/9 ; 8/9)). С оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют МНОЖЕСТВО КАНТОРА (замечу, что оно не пусто, так как кроме точек 0 и 1 там есть, например, точка 1/3, да и вообще в этом множестве пропасть всякиз точек - их то в этой задаче вы и будете исследовать).
а) найдите сумму длин красных интервалов (и поудивляйтесь после этого).
б) докажите, что число 1/4 остнется окрашенным в зеленый цвет.
в) из суммы 2/3 + 2/9 + 2/27 + 2/81 + ... произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма оставшихся слагаемых - зеленое число.

3. Узвестно, что для трех углов А, В и С выполнено равенство А+В+С=180 (градусов). кроме того, известно, что существуют три таких числа а,b и с, что а/sinA = b/sinВ = с/sinC. Докажите, что а^2 = b^2 + c^2 + 2*b*c*cosA.

4. Определите 10274-ый член последовательности:
1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1
1/5 2/4 3/3 4/2 5/1 ...

5. Продолжите последовательность

О Д Т Ч П Ш С

(это все рациональные дроби. Читать вначале первую строку, потом вторую)

Ну вот. Для первого раза хватит. Если все будет нормально решаться, то через недельку ещё. Сраза скажу, что первая задача - просто надо сделать красивый чертёж и аккуратно всё написав, предварительно поняв вокруг чего собственно все вращается. Вторая задача - вкусная сама по себе. не смотрите, что она написана "в олимпиадном стиле",- на самом деле - это множество имеет большое значение в теории функций, когда ответите на пункт а) - не забудьте удивться - это здоровский и очень неожиданный ответ. Про третью задачу сразу вас предостерегу от ошибки. многие думают, что в задаче идет речь про треугольник и теорему синусов в нем, надо доказать теорему косинусов. Это не так - в задаче ни слова про треугольник. Если вы конечно из условий докажете, что из отрезков a,b,c можно сложить треугольник, да еще и с углами А,В,С, то конечно все доказано, но это сделать невероятно трудно - тут надо делать.... не скажу что - думайте. 4-ая задача - надо просто догадаться как там эта последовательность живет. Последнюю задачу предлагал Лев Дмитреевич Ландау студентам, которые хотели поступить к нему в аспирантуру. Тут действительно надо проинтуичить!!

Всем желаю удачи!!!
Сообщения в данном потоке
 По многочисленным просьбам...ЗАДАЧИ!!! (5107) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [05.06.03 21:19]
 Re: Re: По многочисленным просьбам...ЗАДАЧИ!!! (пусто) (2869) - амв (CUSTOMER) [10.05.04 14:51]
 Ландау, кажется был Львом ДАВИДОВИЧЕМ... (пусто) (3886) - Arina (ip158.dial73.gazinter.net) [17.06.03 21:33]
 Re: По многочисленным просьбам...ЗАДАЧИ!!! (3867) - 10-классник (123.117.dial.irtel.ru) [07.06.03 13:24]
 Считайте КАК угодно!!! (3808) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [07.06.03 21:16]
 Re: Re: По многочисленным просьбам...ЗАДАЧИ!!! (3981) - Shev (ppp-195-22-245-161.mdl.net) [07.06.03 13:42]
 Нету :) (пусто) (3804) -  Денис Мамонтов  (www.darnet.ru) [07.06.03 13:36]
 Ой, sorry... (3842) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [05.06.03 21:22]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров