Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Ну вот так всегда, но...
Сообщение прислал(а): Сергей А. Беляев (shine.4ka.mipt.ru)
Дата написания: 14 мая 2003г. 11:26:08
Задача не имеет решения в целых числах. Докажем это.
Перепишем уравнение
x^7 + x^6 + x^5 + x^4 = 2003^2003

функция слева разлагается на множители (это делается легко)
(x^2+1)(x+1)x^4 = 2003^2003

Несложно показать, что функция стоящая слева для положительных х возрастает, для отрицательных х из промежутка [-1;0] она конечно не монотонна, но положительна и не превосходит единицы (это все делается очень просто и мне не хотелось бы останавливаться на подробном доказательстве этого факта), а для х < -1 эта функция отрицательна.

Значит если данное уравнение имеет целочисленное решение, то это решение есть число натуральное. Отсюда следует, кстати, что это решение единственно, так как слева стоит возрастающая для х > 0 функция, а справа - константа.

Заметим, что 2003 - простое число. Значит првая часть делится только на 2003 и на степени этого числа. Из вида правой части следует, что натуральное (я это только что доказал) число х есть степень числа 2003. То есть, если у данного уравнения есть решение, то
х = 2003^n
Кроме того, по аналогичным соображениям
х+1 = 2003^m
Здесть n и m - натуральные числа или 0.

Вычитая из одного равенства другое, получим

1 = 2003^n - 2003^m.

А это равенство не возможно (грубо говоря, потому что 2003 очень большое число).

Значит решений НЕТ.

МОРАЛЬ: Где-то в условии есть ещё одна ошибка. Так как ну очень уж красивое уравнение.

Сообщения в данном потоке
 Решите уравнения (9174) - SoNicKKK (boss.rt.mipt.ru) [13.05.03 02:42]
 Решите уравнения плизззз (3332) - Серега (213.138.85.175) [21.06.11 20:47]
 Re: Решите уравнения (3045) - Люда (static-213-88-110-8.chebnet.ru) [06.06.11 11:30]
 Re: Решите уравнения (3584) - Вероника (93-80-163-63.broadband.corbina.ru) [13.02.10 15:17]
 Re: Re: Решите уравнение с объяснением, пожалуйста (3876) - Ирочка (78-36-23-56.dynamic.murmansk.dslavangard.ru) [07.05.09 18:39]
 Re: Решите уравнения (3099) - сhayan s (BUHGALTERS) [18.02.05 18:57]
 Ну да конечно!!!............. (5075) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [13.05.03 11:14]
 Ну так Ден тоже шарит (4943) - SoNicKKK (boss.rt.mipt.ru) [13.05.03 13:45]
 Re: Ну что я могу сказать.... (4948) - SoNicKKK (boss.rt.mipt.ru) [13.05.03 15:48]
 большое исправление (4569) - SoNicKKK (boss.rt.mipt.ru) [13.05.03 16:23]
 Ну вот так всегда, но... (4602) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [14.05.03 11:26]
 Ну почему же ошибка-то?? (4967) - SoNicKKK (boss.rt.mipt.ru) [14.05.03 11:55]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров