Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Эк меня зацепило!!! Вот что получается:...
Сообщение прислал(а): Сергей А. Беляев (shine.4ka.mipt.ru)
Дата написания: 12 сентября 2003г. 00:14:36
С вашего позволения не буду останавливаться на подробных обоснованиях. Итак. Насколько я понимаю надо найти отношения объёма пирамиды ABCDS к объёму пирамиды AKRQ. Поехали...

Пусть KR пересекает ВС в точке О.
Пусть QR пересекает DС в точке N.
Докажите самомтоятельно, что три точки: А, O и N лежат на одной прямой, которая является прямой пересечения основания пирамиды и плоскости "ы".

Несложно доказать (собственно очевидно из параллельности), что ОВ = ВС, ND = DC (это же параллелограмм).

По теореме Менелая для треугольника BCS и секущей KR получаем
BK/KS * SR/RC * CO/OB = 1
Откуда RC/SR = 2k.

По теореме Менелая для треугольника NRC и секущей DS получаем
NQ/QR * RS/SC * CD/DN = 1

Здесь RS/SC = RS/(SR+RC) = 1/(1+RC/SR) = 1/(1+2k)

Отсюда NQ/QR = 1+2k. Аналогично, OK/KR = 1+2k.

Обозначим V = V(SOCN), V0 = V(ABCDS), V1 = V(AKRQS)

Имеем, V(ADNS)/V = NA/NO * ND/NC * NS/NS = 1/4.
V(OABS)/V = 1/4 - аналогично.

V0 = V - V/4 - V/4 = V/2

V(ORNS)/V = SO/SO * SN/SN * SR/SC = 1/(1+RC/SR) = 1/(1+2k)

V(AQNS)/V(ORNS) = NS/NS * NQ/NR * NA/NO = NQ/(NQ+QR) * (1/2) =
= 1/(1+QR/NQ) * (1/2) = 1/(1+1/(1+2k)) * (1/2) =
=(1+2k)/(2*(1+2k+1)) = (1+2k)/(4*(1+k)).

V(AQNS)/V = 1/(4*(1+k))

Аналогично V(OAKS)/V = 1/(4*(1+k))

V1 = V(ORNS) - V(AQNS) - V(OAKS) = V(ORNS) - 2*V(AQNS),
так как V(AQNS) = V(OAKS), что следует из вышенайденных отношений.

Значит, V1/V = 1/(1+2k) - 2 * 1/(4*(1+k)) = 1/(2*(1+k)*(1+2k))

Итак, V1/V = 1/(2*(1+k)*(1+2k)), V0 = V/2

Окончательно получаем V0/V1 = (1+k)*(1+2k).


Ответ: V0/V1 = (1+k)*(1+2k), где V0 = V(ABCDS), V1 = V(AKRQS).

Вот такое вот решение. Вроде бы всё честно. Что не понятно - спрашивайте, но, как мне кажется, ничем таким особенным кроме формулы отношеня объёмой тетраэдров и теоремой Менелая я не пользоался. Обратите внимание, эта формула НЕ справедлива для пирамид. Если вы это понимаете - прекрасно. А то просто у меня сложилось впечатление, что вы ею пользовались для четырёхугольной пирамиды.









Сообщения в данном потоке
 задачка по стереометрии (3707) - A.R. (ppp142-81.dialup.mtu-net.ru) [11.09.03 20:37]
 Эк меня зацепило!!! Вот что получается:... (3908) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [12.09.03 00:14]
 Задачка в две строчки решается. (3660) - Juli (ts12-a126.Moscow.dial.rol.ru) [16.09.03 15:45]
 Re: Я совсем не так делаю ! (3573) - Juli (ts12-a178.Moscow.dial.rol.ru) [18.09.03 14:26]
 Re: Cергей, ОГРОМНОЕ спасибо!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (пусто) (3512) - A.R. (ppp156-58.dialup.mtu-net.ru) [12.09.03 10:01]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров