Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Приветду пример из которого всё станет ясно.
Сообщение прислал(а): Сергей А. Беляев (shine.4ka.mipt.ru)
Дата написания: 2 сентября 2003г. 09:55:08
Рассмотрим формулу
(x+ 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x +1 =>
(x+ 1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x +1
Теперь будем подставлять туда все подряд натуральные числа, а именно

(1+1)^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 +1
(2+1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 +1
(3+1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 +1
(4+1)^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 +1
(5+1)^3 - 5^3 = 3*5^2 + 3*5 +1
(6+1)^3 - 6^3 = 3*6^2 + 3*6 +1
-------------------------------
(n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n +1
Сложим всё это безобразие, получаем (в левой части почти всё умирает, остаётся только первое и последнее слагаемое),
обозначая Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +...+n^2
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*(1+2+3+4+...+n) + n
Однако, 1+2+3+4+...+n = n*(n+1)/2 (кто не верит, пусть просуммирует арифметическую прогрессию)
Значит
3*Sn = (n+1)^3 - 1 - 3n*(n+1)/2 - n
После нескольких выкладок, получаем
Sn = n*(n+1)*(2n+1)/6

Остальные формулы получаются аналогично.
Сообщения в данном потоке
 Re: Для тех у кого нет Шабунина (3887) - pavel (xeon.chuvsu.ru) [01.09.03 12:40]
 Приветду пример из которого всё станет ясно. (3955) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [02.09.03 09:55]
 Re: Для тех у кого нет Шабунина (3810) - Abr (cce.irtel.ru) [01.09.03 08:50]
 конечно существует!!! (пусто) (3858) -  Сергей А. Беляев  (shine.4ka.mipt.ru) [01.09.03 11:38]
 Спасибо!!! (пусто) (3821) - pavel (xeon.chuvsu.ru) [30.08.03 16:20]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров