Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института         
Задачи и решения
  Вернуться к сообщениям форума  |  Ответить на сообщение 
Потрясающее докозательство геометрической задачи
Сообщение прислал(а): Гега (CELERON)
Дата написания: 28 декабря 2003г. 21:34:16

Без картинки конечно ... а жаль =)

Дан произвольный треугольник ABC.
Проводятся биссектриссы AF и СE. На отрезке EF
произвольным образом выбирается точка P.
Доказать, что PM+PN=PL , где M,N,L - основания
перпендикуляров ,опущенных из точки P на стороны
AB,BC и AC соответственно.

Доказательство:
Предположим , что точка P с постоянной скоростью двигается
от точки E к точке F. Заметим , что если точка P двигается с
линейной скоростью,то и точки M , N , L также двигаются
с линейными скоростями (*) . Но тогда длины отрезков PM, PN и
PL также меняются линейно. Пускай EP=x. Рассмотрим функцию
f(x)=PM+PN-PL. Сумма линейных функций есть функция линейная,
тогда f(x) - линейная функция .
Рассмторим f(0) . В данном случае точка P совпадает
с точкой Е , значит лежит на биссектриссе . Следовательно
PN=PL ( свойство биссектриссы ). Тогда f(0)=PM+PN-PL = 0 ,
так как PM = 0 ( точка P совпала с точкой M ).
Аналогично f(EF)=0 , так как PM=PL и PN=0.
Линейная функция f(x) в двух точках принимает значение 0 ,
значит и для любого x f(x)=0. Тогда вне зависимости от
выбора точки P , PM + PN = PL .

Вот =) Если опустить разговоры про линейность функций ,
то доказательство занимает 3 строчки !!! Для сравнения
можно попробовать решить задачу геометрически=).

(*) Этот факт требует доказательства , но доказать это
не заставляет труда. Идея такая ... M - основание
перпендикуляра . Отрезок AM выражается через отрезок
x=EP с помощью синуса ( плюс/минус некая константа )
, который в данном случае некоторая постоянная.















Сообщения в данном потоке
 Потрясающее докозательство геометрической задачи (3363) - Гега (CELERON) [28.12.03 21:34]
 Интересно =) (3246) - Гега (CELERON) [31.12.03 13:53]
 Re: Интересно =) (3228) - vova (ras-serv.tstu.edu.ua) [03.01.04 01:51]

Ответить на сообщение
При публикации вопросов, связанных с задачами, приводите, пожалуйста, ИХ УСЛОВИЯ.
Тема сообщения:
Ваше имя:
Ваш E-Mail:
Текст сообщения:
[Добавить формулу]
Сотрудник ЗФТШ:   
  

© 2002-2019, ЗФТШ МФТИ
    Пожелания вебмастеру
ЛЕКТОРИЙ | ПРОГРАММЫ ОБУЧЕНИЯ | МЕТОДИСТЫ | ШКОЛЬНИКАМ
Разработка 100ляров